правильний п'ятикутник

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Правильний п'ятикутник (або пентагон від грец. πενταγωνον) - геометрична фігура , правильний багатокутник з п'ятьма сторонами.

Побудова правильного п'ятикутника α = (n - 2) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {(n-2)} {n}} \ cdot 180 ^ {\ circ } = {\ frac {3} {5}} \ cdot 180 ^ {\ circ} = 108 ^ {\ circ}} Побудова правильного п'ятикутника α = (n - 2) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {(n-2)} {n}} \ cdot 180 ^ {\ circ } = {\ frac {3} {5}} \ cdot 180 ^ {\ circ} = 108 ^ {\ circ}}

  • Площа правильного п'ятикутника розраховується по кожній із формул:

S = 5 4 t 2 ctg π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 tg π 5 {\ displaystyle S = {\ frac {5 } {4}} t ^ {2} \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ sqrt {5+ 2 {\ sqrt {5}}}}} {4}} t ^ {2} = {\ frac {5} {12}} Rd = {\ frac {5} {2}} R ^ {2} \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = 5r ^ {2} \ mathop {\ mathrm {tg}} \, {\ frac {\ pi} {5}}} S = 5 4 t 2 ctg π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 tg π 5 {\ displaystyle S = {\ frac {5 } {4}} t ^ {2} \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ sqrt {5+ 2 {\ sqrt {5}}}}} {4}} t ^ {2} = {\ frac {5} {12}} Rd = {\ frac {5} {2}} R ^ {2} \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = 5r ^ {2} \ mathop {\ mathrm {tg}} \, {\ frac {\ pi} {5}}} , Де R {\ displaystyle R} - радіус описаної окружності , R {\ displaystyle r} - радіус вписаного кола, d {\ displaystyle d} - діагональ , T {\ displaystyle t} - сторона , Де R {\ displaystyle R} - радіус описаної окружності , R {\ displaystyle r} - радіус вписаного кола, d {\ displaystyle d} - діагональ , T {\ displaystyle t} - сторона.

  • Висота правильного п'ятикутника:

h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t {\ displaystyle h = {\ frac {\ operatorname {tg} \, 72 ^ {\ circ}} {2}} t = {\ frac { \ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} {2}} t \ approx 1 {,} 539t} h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t {\ displaystyle h = {\ frac {\ operatorname {tg} \, 72 ^ {\ circ}} {2}} t = {\ frac { \ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} {2}} t \ approx 1 {,} 539t}

Тому радіус вписаного кола, радіус описаного кола, висоту і площу правильного п'ятикутника можна обчислити і без використання тригонометричних функцій:

t = R 5 - 5 2 ≈ 1,175 57 R {\ displaystyle t = R {\ sqrt {\ frac {5 - {\ sqrt {5}}} {2}}} \ approx 1 {,} 17557 ~ R} t = R 5 - 5 2 ≈ 1,175 57 R {\ displaystyle t = R {\ sqrt {\ frac {5 - {\ sqrt {5}}} {2}}} \ approx 1 {,} 17557 ~ R}

  • Радіус вписаного кола:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t {\ displaystyle r = {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {10}} t \ approx 0 {,} 688191 ~ t} r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t {\ displaystyle r = {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {10}} t \ approx 0 {,} 688191 ~ t}

  • Радіус описаного кола:

R = 1 0 5 + 5 10 t = (5 - 1) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r {\ displaystyle R = {\ frac {{\ sqrt {1}} 0 {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}}} {10}} t = ({\ sqrt {5}} - 1) ~ r \ approx 0 {,} 850651 ~ t \ approx 1 {,} 23607 ~ r} R = 1 0 5 + 5 10 t = (5 - 1) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r {\ displaystyle R = {\ frac {{\ sqrt {1}} 0 {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}}} {10}} t = ({\ sqrt {5}} - 1) ~ r \ approx 0 {,} 850651 ~ t \ approx 1 {,} 23607 ~ r} d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t {\ displaystyle d = {\ sqrt {\ Phi {\ sqrt {5}}}} R = {\ frac {{\ sqrt {5}} +1} {2}} t \ approx 1 {,} 902 ~ R \ approx 1 {,} 618 ~ t} S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 {\ displaystyle S = {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {4 }} t ^ {2} \ approx 1 {,} 72048 ~ t ^ {2}} d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t {\ displaystyle d = {\ sqrt {\ Phi {\ sqrt {5}}}} R = {\ frac {{\ sqrt {5}} +1} {2}} t \ approx 1 {,} 902 ~ R \ approx 1 {,} 618 ~ t} S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 {\ displaystyle S = {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {4 }} t ^ {2} \ approx 1 {,} 72048 ~ t ^ {2}}

  • Правильним п'ятикутником неможливо заповнити площину без проміжків (Див. також паркет )
  • Відношення площ правильного п'ятикутника і іншого правильного п'ятикутника, утвореного перетином діагоналей вихідного (середина п'ятикутної зірки)

S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 +5 +7 2 ≈ 6,854 1 {\ displaystyle {\ frac {S} {s}} = \ Phi ^ {4} = 3 \ Phi +2 = {\ frac { 3 {\ sqrt {5}} + 7} {2}} \ approx 6 {,} 8541} S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 +5 +7 2 ≈ 6,854 1 {\ displaystyle {\ frac {S} {s}} = \ Phi ^ {4} = 3 \ Phi +2 = {\ frac { 3 {\ sqrt {5}} + 7} {2}} \ approx 6 {,} 8541} де Φ {\ displaystyle \ Phi} - відношення золотого перетину де Φ {\ displaystyle \ Phi} - відношення золотого перетину .

Побудова правильного п'ятикутника

Правильний п'ятикутник може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки або вписуванням його в задану окружність , Або побудовою на основі заданої сторони. Цей процес описаний Евклидом в його «Засадах» близько 300 року до н. е.

е

Альтернативний метод побудови правильного багатокутника за допомогою лінійки і циркуля

Ось один з методів побудови правильного п'ятикутника в заданій окружності:

  1. Побудуйте коло, в яку буде вписаний п'ятикутник, і позначте її центр як O. (Це зелена окружність на схемі справа).
  2. Виберіть на колі точку A, яка буде однією з вершин п'ятикутника. Побудуйте пряму через O і A.
  3. Побудуйте пряму перпендикулярно прямої OA, що проходить через точку O. Позначте одне її перетин з окружністю як точку B.
  4. Побудуйте точку C посередині між O і B.
  5. Проведіть окружність з центром в точці C через точку A. Позначте її перетин з прямою OB (всередині первісної окружності) як точку D.
  6. Проведіть окружність з центром в A через точку D, перетин даної окружності з оригінальною (зеленої колом) позначте як точки E і F.
  7. Проведіть окружність з центром в E через точку A. Позначте її інше перетин з первісної окружністю як точку G.
  8. Проведіть окружність з центром в F через точку A. Позначте її інше перетин з первісної окружністю як точку H.
  9. Побудуйте правильний п'ятикутник AEGHF.

Правильний п'ятикутник можна отримати, зав'язавши вузлом смужку паперу.

Дослідження формування водяного льоду на рівній поверхні міді при температурах 100-140 K показали, що спочатку на поверхні виникають ланцюжки молекул шириною близько 1 нм НЕ гексагональної, а пентагональними структури. [1] Пентасімметрію можна побачити в багатьох кольорах і деяких фруктах, наприклад в таких як ця мушмула германська .

Пентасімметріей мають голкошкірі (наприклад морські зірки ) І деякі рослини. Див. також Закономірності в природі .

  • додекаедр - єдиний з правильних багатогранників , Межі якого є правильні п'ятикутник.
  • Пентагон - будівля Міністерства оборони США - має форму правильного п'ятикутника.
  • Правильний п'ятикутник - правильний багатокутник з найменшою кількістю кутів з тих, якими не можна замостити площину.
  • У природі не існує кристалів з гранями у формі правильного п'ятикутника.
  • П'ятикутник з усіма його діагоналями є проекцією 4-симплекса.